作为一个轻度的地图控，我一直想探索地图投影这一块的知识。不知道大家有没有这样的疑问：高德地图、谷歌地图为什么都采用 Mercator 投影？

这种地图高纬度地区严重失真，格陵兰岛看起来比非州还要大，究竟有什么好处？

等距柱状投影

因为本文涉及的投影方式都是圆柱投影，所以在介绍 Mercator 投影之前，不妨先了解一下比较简单的等距柱状投影。

这种投影用一个底面直径、高均等于地球直径的圆柱面卡住地球，圆柱的轴线与地轴重合。从地轴上一点出发，沿与赤道平行的方向把地表上一点投影到圆柱面上，再把圆柱面展开，就得到了等距柱状投影的地图。投影形成的各矩形网格单元具有相同的长宽。我愿用一句话来形容这个过程：

所谓地图投影，无非就是把地表一点 映射到平面上的一点 ，不然 map 这个单词为什么会有映射的意思呢（我瞎猜的）？等距柱状投影的映射关系足够简单：

由于映射关系简单，所以在轨道力学中，经常用等距柱状投影绘制航天器的星下点轨迹，因为基本不需要经过复杂的转换。下面是几颗航天器的星下点轨迹：

Mercator 投影

首先需要交代 Mercator 投影的提出年代是 16 世纪，彼时大航海时代方兴未艾，世界需要一张准确清晰的航海图。对于远洋航行来说，最方便的地图是能够让航线在地图上是一条直线，这样只需用直线把起点与目的地连接起来，就得到了航线。

1569 年，Gerhardus Mercator 出版了他的世界地图，在这张地图上，平行的经线与平行的纬线垂直交错形成了经纬网，并且投影前后角度没有发生变化。这是一个开拓性的创造，Mercator 开创了地理学史新的篇章。

（Gerhardus Mercator 1512-1594）

和等距柱状投影一样，Mercator 投影也是圆柱投影，投影遵循等角约束（具体如何实现，先按下不表）

地图上经纬线垂直的意义不言而喻，需要说明一下投影前后角度不变的意义：

在 Mercator 的年代，航海导航全靠指南针，指南针会给出当地经线的方向，船的航行方向与经线夹成一定的角度。在 Mercator 的地图上，由于经线互相平行，我们任意画一条直线航线，会发现它与每条经线所夹的角度是相同的，那么根据角度不变，还原回地表，这条航线与球面的每条经线所夹的角度依然是相同的，这样我们让船的航行方向与指南针始终夹成这个角度，就可以实现沿着这条航线航行，到达目的地。这样的航线被称为等角航线。

在 Mercator 的地图上，用直线就可以轻松规划出一条等角航线，排除风浪等因素的干扰，只要利用指南针使得航行方向保持这个角度，就可以导航到目的地，非常便于测量和纠正，这就是 Mercator 的地图的先进性，直到今天仍然没有过时。

回到本文开头的问题，各大地图软件为什么偏爱 Mercator 投影，答案就是方向不变。垂直的十字路口在 Mercator 投影上依然是垂直的，笔直的道路在 Mercator 投影上依然是笔直的。用一张图来说明：

下面，我们将根据等角约束，分别考虑地球是球体和椭球体两种情况，推导出 Mercator 投影的投影公式。

球体

在平面投影图上，分别以 经线和 纬线为 轴和 轴建立直角坐标系。在地球表面取 和 构成的微元，对应的弧长微元为 和 。根据 Mercator 投影经纬线互相垂直的特点，这个微元的平面投影是矩形，矩形的宽和高分别记作 和 。

有

引入等角约束，即必须满足：

另外

所以

把上式代入到等角约束的表达式中，化简，得到

两边积分，得到

另外，根据所建直角坐标系的特点

又由于纬度 ，所以 里的绝对值可以去掉。最终的投影公式为：

还有一些变形形式：

Mercator 投影的逆变换：

当 时，，所以需要对 的范围进行限制。各大地图软件采用的是 Web Mercator 投影，即地图的宽度和高度相等。解算一下 Web Mercator 投影 的范围：令 等于地图的宽度的一半，即 ，解得

即 Web Mercator 投影表示的是 这一范围。

椭球体

设椭球的扁率为 ，赤道半径为 ， 和 是地心经纬度，有

引入椭球条件下的等角约束：

所以

两边积分，得到

椭球条件下，Mercator 投影的投影公式为：

横轴 Mercator 投影

横轴 Mercator 投影是在 Mercator 投影的基础上，把投影圆柱倾斜 形成的，它依然继承等角约束，投影示意图如下：

和 Mercator 投影相反，它的特点是两级的变形最小，赤道的变形最大。

它的投影公式为：

具体推导过程暂且不表，后文的斜轴 Mercator 投影部分会进行推导。

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看到横轴 Mercator 投影的地图，不由得让我想起初中地理课本上解释地球仪的一张插图，书上的插图我已经找不到了，这里大概复现了一下：

大概意思就是：像剥桔子皮一样，把地表沿着一些经线剥开，再展成平面图。它的逆过程就是制作地球仪的过程。上图中的每一个梭形区域都是用横轴 Mercator 投影计算出来的。

三种投影的对比

以上介绍了等距柱状投影、Mercator 投影、横轴 Mercator 投影，下面分别从投影前后角度的变化和面积的变化进行对比。

角度的变化

前面已经介绍了等角航线，这种航线在导航方面容易实现，但是它的航程如何呢？很可惜，等角航线的航程不是最短的，两点间最短的航线是大圆航线。

通过地面上任意两点和地心做一平面，平面与地球表面相交得到的圆周是大圆，两点之间的大圆劣弧线就是大圆航线。

但是大圆航线与各经线的夹角不是恒定的，沿大圆航线航行需要不断地调整方向。

在地球表面取 4 个地点，分别构造 3 条大圆航线（红色）和 3 条等角航线（紫色），如下图（这里不纠结航线经过陆地的问题，或者把它们理解为飞机的航线）

等距柱状投影

Mercator 投影

横轴 Mercator 投影

通过对比可以发现：

1. 在 Mercator 投影里，等角航线的确是直线，而大圆航线不是。
2. 在某些情况下，大圆航线和等角航线比较接近。此时完全可以沿着等角航线航行。在某些情况下，大圆航线和等角航线相差非常明显。

面积的变化

在地球表面取若干等面积的圆形区域，如下图：

等距柱状投影

Mercator 投影

横轴 Mercator 投影

通过对比可以发现：

1. 三种投影都改变了圆形区域的面积。
2. Mercator 投影越靠近两级，面积被放大地越多；横轴 Mercator 投影越靠近赤道，面积被放大地越多。
3. 对于 Mercator 投影和横轴 Mercator 投影，投影前后形状没发生变化，再次体现了角度不变性。

斜轴 Mercator 投影

在横轴 Mercator 投影中，把投影圆柱倾斜了 ，那么如果把圆柱倾斜一个任意的角度呢？示意图如下：

这样形成的投影图称为斜轴 Mercator 投影，先预览一下倾斜 、、、 时的投影图：

斜轴 Mercator 投影的投影公式为：

下面进行推导：

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记 为平常意义下的北极， 为人为定义的北极。在正常经纬度意义下， 在 经线上， 与赤道形成的夹角称为倾斜角，记为 。在北极 的意义下，地表一点的经纬度为 ；在北极 的意义下， 点的经纬度为 。现在就是要寻找 到 的映射关系：

示意图如下：

定义 为球面角 的补角， 为 。则 为

角度的几何关系罗列如下：

根据球面三角的公式，有：

和

根据这两个公式，可以导出

这样就得到了 ：

在北极 的意义下， 有如下关系（就是 Mercator 投影）：

整理前面得到的各转换关系，得到 的转换关系：

当 时，北极 与平常意义下的北极 重合，斜轴 Mercator 投影退化为 Mercator 投影。为了确保公式的统一性，需要在上式中用 替换 ，替换后

此时，把 代入其中，化简之后会发现就是 Mercator 投影的投影公式。令 就得到了横轴 Mercator 投影的投影公式（填坑了）。需要特别注意的是，因为执行了换元的操作，所以使用这个公式时中央经线会与预想中的 相差 。

得证。

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斜轴 Mercator 投影的逆变换为

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下面是本文最燃的一部分，让我们把倾斜角 从 到 的全过程用动图的形式呈现出来：

（正视图）

（后视图）

（俯视图）

（平面图）

按照惯例，此处应该附上代码，但是这个代码写的并不优雅，渲染上面 4 张动图足足用了 1 小时 57 分钟，所以就不公开出来了。

关于 Mercator 投影的思考

（我并不是 GIS 专业的，这里斗胆谈一点个人的看法属于是，大佬勿嘲）

疑问

搜索 Mercator 投影，会常到见一种看似很有道理的言论：

假设地球被套在一个圆柱中，赤道与圆柱相切，然后在地球中心放一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，就形成以一幅墨卡托投影的世界地图。

很多人在科普 Mercator 投影时都会引用上面这句话，甚至某百科都是这么说的。为此，他们还做了一张示意图：

乍一听感觉道出了 Mercator 投影的本质，我一开始也深信不疑。但细细一品，果真如此的话，投影公式 里的 是从哪里来的？再细细一品，更不对劲，这样的话 直接等于 了。简直让人哭笑不得。

从历史的角度来看，Mercator 投影是 1569 年提出的，此时微积分尚且没有发明，而且投影公式里的对数 是 17 世纪初才发表的。所以，先不谈不用微积分能否推导出投影公式，你不可能在没有发明对数的年代使用对数吧？

所以，需要分清楚 Mercator 投影和 Mercator 的投影。1569 年，Mercator 出版了他的世界地图，他的确可能是根据“地球中心放一盏灯”这种说法绘制的地图。我们看下面这张邮票也体现着这种思想：

这是 Mercator 的投影。但是，Mercator 投影是后人修正后的。这多少有点类似明史与《明史》的关系。

探索

不妨尝试对比一下 和 之间的差距：

纬度高于 之后，二者的差距还是比较大的。

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把上面的邮票放大：

发现发光点并不在圆心，而是偏移了一定的距离？？？不妨假设地球半径是 ，发光点相对圆心的偏移是 ，针对纬度是 的一点

根据正弦定理：

反解出 ：（有请 Mathematica）

那么，此时

这就是修正后的投影公式。如果令 ，上式就退化成了 。

尝试计算一下它的逆变换：

有点过于复杂。

那么这个 究竟取多少才最合适呢？在 的区间内取几组数据，对比 和 的图像：

当 介于 和 之间时，修正的效果最好。说明把发光点进行一定程度的偏移是行得通的，而且竟然比圆心发光更加有效！

下面研究不同的发光点偏移与等角投影点的距离偏差，即下式的图像：

可以看出，在低于 纬度的范围内，当 基本可以保证偏差在 以内。

结尾